Théorème de Floquet

Ceci est un écrit sur un travail de Gaston Floquet.

Ce n'est pas exactement un poème en Oulipo. Et pourtant il se lit comme tel.

Théorème de Floquet

L'analyse de Floquet s'applique

lorsque la matrice d'avance d'état au point courant est périodique.

amplifiée ou atténuée exponentiellement.

Les propriétés du propagateur de Floquet

sont obtenues en considérant la matrice

dont les colonnes forment une base de toutes les solutions.

On diagonalise le propagateur.

Ceci permet de définir un vecteur périodique

du fait de la diagonalité des trois matrices.

Les vecteurs de Floquet étant périodiques,

ils sont donc bornés.

Les exposants ne sont pas uniques dans la décomposition

du système linéaire tangent,

et sont en toute généralité imaginaires.

Dans le cadre du cristal parfait infini,

les électrons sont soumis à un potentiel périodique

ayant la symétrie de translation

des atomes.

Votre langue au chat ?

L'original est un article de Wikipedia sur le mathématicien Achille-Marie Gaston Floquet né en 1847 à Epinal, mort en 1920 à Nancy.

Avec une rigueur toute oulipienne, nous avons convenu d'y retrancher des choses en nous interdisant d'en ajouter aucune.

M.A.

Une première version de ce théorème écrivait :

Théorème de Floquet

L'analyse de Floquet s'applique

lorsque la matrice d'avance d'état au point courant est périodique.

Elle permet de trouver une base de projection de la trajectoire

dans laquelle chaque coordonnée

est une trajectoire périodique amplifiée ou atténuée exponentiellement.

Les propriétés du propagateur de Floquet

sont obtenues en considérant la matrice

dont les colonnes forment une base de toutes les solutions.

On diagonalise le propagateur.

Ceci permet de définir d'autres vecteurs non amortis.

On obtient une matrice que l'on définit en "dés-amortissant" un vecteur périodique

du fait de la diagonalité des trois matrices.

Les vecteurs de Floquet étant périodiques, ils sont donc bornés.

Les exposants ne sont pas uniques dans la décomposition de Floquet

et sont en toute généralité imaginaires

La croissance de chaque vecteur de Floquet au cours du temps

est déterminée par la partie réelle de l'exposant

et la fréquence par la partie imaginaire.

La vitesse entraine une propriété de la décomposition de Floquet

du système linéaire tangent, propagateur de la trajectoire perturbée,

celle d'avoir un multiplieur de Floquet égal à 1.

Dans le cadre du cristal parfait infini,

les électrons sont soumis à un potentiel périodique

ayant la symétrie de translation

des atomes.

M. A.